2022-08-06

1986年東京医科歯科大医学部　

　２つの曲線 $y=\sqrt{x} \,\cos{x}$ と $y=\sqrt{x} \,\sin{x}$ とで囲まれる図形のうち $\dfrac{\pi}{4} \leqq x \leqq \dfrac{5\pi}{4}$ の範囲にある部分を $x$ 軸のまわりに１回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

2022-08-06

2017年お茶の水女子大理学部 (化学科・情報科学科) 第３問

${\fbox{3}}$ 　曲線 $y=\sqrt{x} \,\sin{x}$ と曲線 $y=\sqrt{x} \,\cos{x}$ を考える． $\dfrac{\pi}{4} \leqq x \leqq \dfrac{5}{4}\pi$ の区間でこれらの２つの曲線に囲まれる領域が $x$ 軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めよ．

2022-08-05

理系・新作問題演習 (東京出版) 108番

　 $I_n =\displaystyle \int_{0} ^{1} (1-x^{2})^{\frac{n}{2}} dx$ について，次の問いに答えよ．ただし， $n$ は正の整数とする．
(ⅰ)　 $I_n$ と $I _ {n+2}$ との間に成り立つ関係を求めよ．
(ⅱ)　 $I_5$ を求めよ．

2022-08-05

理系・新作問題演習 (東京出版) 103番

　 $xy$ 平面上で，動点 P，Q はそれぞれ点 $( 0, 0 )$ ， $( 1, 0 )$ を同時に出発し，P は $y$ 軸上を正の向きに１の速さで，Q は円 $x^{2}+y^{2}=1$ の周上を反時計まわりに $\dfrac{\pi}{2}$ の速さで動くものとする．
　P，Q が点 $( 0, 1 )$ に近づくとき，直線 PQ と直線 $x=1$ との交点 R はどのような点に近づくか．

2022-08-05

2022年昭和大学医学部 (Ⅰ期 ) 数学第3問

${\fbox{3}}$
　次の各問いに答えよ．ただし，答えは結果のみを解答欄に記入せよ．
(1)　 $xy$ 平面上で，動点 P，Q はそれぞれ点 $( 0, 0 )$ ， $( 1, 0 )$ を同時に出発し，P は $y$ 軸上を正の向きに１の速さで，Q は円 $x^{2}+y^{2}=1$ の周上を反時計回りに $\dfrac{\pi}{2}$ の速さ (角速度) で動くものとする．P，Q が点 $( 0, 1 )$ に近づくとき，直線 PQ と直線 $x=-1$ との交点をRとする．
(1-1)　P の座標を $( 0, t )$ ( $0\leqq {t}$ < $1$ ) とおくとき，Q，R の座標を $t$ を用いて表せ．
(1-2)　R はどのような点に近づくか．

(2)　 $I_n =\displaystyle \int_{0} ^{1} (1-x^{2})^{\frac{n}{2}} dx$ について，次の問いに答えよ．ただし， $n$ は正の整数とする．
(2-1)　 $I_1$ を求めよ．
(2-2)　 $I_n$ と $I _ {n+2}$ との間に成り立つ関係を求めよ．
(2-3)　 $I_5$ を求めよ．